Bài toán Trần Phương
Lỗi Lua trong package.lua tại dòng 80: module 'Mô đun:Message box/configuration' not found.
Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Unsubst”.
Bài toán Trần Phương (hay còn gọi là Bài toán diện tích không biên giới) là một bài toán được sáng tạo bởi thầy giáo Trần Phương. Nó được đăng trên chuyên mục giáo dục của trang tin tức tổng hợp điện tử nổi tiếng The Guardian vào ngày 7 tháng 9 năm 2020. Bài toán Trần Phương tình cờ được ra đời khi tác giả đón nhận tia nắng xuyên qua khe cửa sổ mà bừng sáng lên tạo thành một tam giác nhỏ bé vô cùng mà lại có thể bao trùm cả Trái Đất khổng lồ.
Nguồn gốc và nội dung[sửa]
Bài toán Trần Phương được biết đến với các tên gọi như bài toán diện tích không biên giới,[1][2][3][4][5][6][7] bài toán tam giác và Trái Đất[8] hay bài toán tam giác nhỏ nhất và lớn nhất trên thế giới". [9][10][11][12][13][14][15][16][17].
Bài toán đó có nội như sau:
Có hay không một tam giác có tổng độ dài 3 đường cao nhỏ hơn 1mm nhưng diện tích tam giác lớn hơn diện tích Trái Đất (khoảng 510.100.000 km²)?
Lời giải[sửa]
Bình luận trước khi giải[sửa]
- Sai lầm thường gặp hay trực giác đánh lừa tư duy
Cảm nhận đầu tiên của đa số mọi người là không thể có một tam giác nào thoả mãn các điều kiện của đề bài.
Thật vậy, khi ta chúng ta vẽ một tam giác cho trước với các độ dài đường cao nào đấy; rồi để cho các độ dài đường cao thu nhỏ hơn 1mm thì trực giác sẽ đưa chúng ta hướng đến thao tác: “Bóp tam giác thu nhỏ dần dần để nó tiến về một điểm, nhưng khi đó diện tích của tam giác sẽ tiến đến 0 và rất nhỏ hơn so với diện tích trái đất là 510.100.000 km²”
- Trực giác làm bừng sáng tư duy
Cũng ngẫu nhiên như việc Isaac Newton phát minh ra định luật Vạn vật hấp dẫn khi nhìn quả táo rơi, bài toán này ra đời khi có một tia nắng chiếu qua khe cửa sổ rọi đến mắt tác giả làm nảy lên một ý tưởng: "Độ rộng của tia nắng rất hẹp nhưng diện tích của dải tia nắng là rất lớn vì tia nắng xuất phát từ mặt trời có khoảng cách rất xa so với Trái Đất".
Và tam giác cần tìm là tam giác được đặt trong dải tia nắng rất hẹp ấy.
Lời giải[sửa]
- Từ trực giác đến ý tưởng toán học "Tạo tam giác có diện tích vô cùng lớn"
- Vẽ đường thẳng (d), sau đó tịnh tiến (d) một khoảng ε nhỏ tuỳ ý để nhận được (d′). Khi đó diện tích của dải mặt phẳng tạo bởi 2 đường thẳng song song (d), (d′) là một đại lượng vô cùng lớn.
- Nếu ta đặt hình chữ nhật BCMN nằm trong dải mặt phẳng tạo bởi (d) và (d′) thì khi dịch chuyển hai cạnh BN, CM về 2 đầu của dải mặt phẳng tức là tăng chiều dài BC, MN thì diện tích của hình chữ nhật BCMN có số đo vô cùng lớn.
-
Chúng ta cần chú ý tam giác ABC có góc A là góc tù. Cho nên, các đường cao kẻ từ B và C lần lượt có các chân đường vuông góc là P và Q, nằm ngoài AB và AC.
- Lấy tam giác ABC nội tiếp trong hình chữ nhật BCMN thì diện tích (ABC) bằng một nửa diện tích (BCMN) nên cũng có số đo vô cùng lớn. Ta chỉ cần chứng minh khi đó tổng độ dài ba đường cao của tam giác ABC nhỏ tuỳ ý.
- Đặc biệt hóa để đánh giá tổng độ dài ba đường cao nhỏ tuỳ ý
- Ta chọn A là trung điểm của MN, khi đó tam giác ABC cân tại A.
- Đặt ha = ε; BC = a; CA = b; AB = c, với b = c. Ta có
- aha = bhb = chc= aε = 2S (1)
- ahb < (b+c)hb= 2bhb = 4S (2)
- ahc < (b+c)hc = 2chc = 4S (3)
- Cộng các vế của (1); (2) và (3) ta có:
- a(ha + hb + hc) < 10S hay ha + hb + hc < 10S /a = 5ε
-
Sau khi chứng minh, ta dễ dàng kết luận rằng có tồn tại tam giác có tổng độ dài 3 đường cao nhỏ hơn 1mm với diện tích lớn hơn diện tích Trái Đất.
- Trình bày thuật toán dựng tam giác chứa cả 2 đại lượng vô cùng bé và vô cùng lớn
- Vẽ một đường thẳng (d) cho trước. Tịnh tiến (d) một khoảng ε nhỏ tuỳ ý chẳng hạn ε < 0,2mm để nhận được đường thẳng (d’) // (d).
- Đặt S = 511,000,000 km2. Trên (d) lấy 2 điểm B, C sao cho BC= 2S/ε
- Lấy điểm A € (d’) sao cho tam giác ABC cân tại A. Khi đó S(ABC) = S = 511,000,000 km2 > 510,100,000 km2
- Tổng ba đường cao tam giác ABC là: ha + hb + hc< 10S /a = 5ε < 1 mm
Ý nghĩa bài toán[sửa]
Bài toán này có ý nghĩa về mặt phương pháp giảng dạy "từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng". Đồng thời biểu diễn mối quan hệ trực giác nhất trong giới hạn: mối quan hệ trước và sau. Nếu yếu tố khoảng cách giữa hai đường thẳng song song nhỏ tùy ý được lấy trước là ε, yếu tố độ dài cạnh BC lấy sau, thì có thể tạo ra tam giác ABC có diện tích lớn tùy ý và tổng của 3 đường cao tam giác nhỏ tùy ý (nhỏ hơn 5ε). Ngôn ngữ "trước và sau" rất thường gặp trong các định nghĩa về giới hạn cổ điển của hàm số thực, mà trong các sách giải tích thường gọi là ngôn ngữ Epsilon – Delta, trong đó Epsilon lấy trước, Delta lấy sau.Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Unsubst”.
Tham khảo[sửa]
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
- ↑ Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “Citation/CS1”.
This article "Bài toán Trần Phương" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:Bài toán Trần Phương. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.
